Skip to main content

Учитывая # a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 = 25; x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = 36 и ax + by + cz = 30 # для a, b, c, являющихся вещественными. Как вы докажете # a / x = b / y = c / z = 5/6 #?

Ответ:

Смотрите демо ниже

Объяснение:

Предположим, у вас есть три очка в # R ^ 3 #

# p_1 = (a, b, c) #
# p_2 = (x, y, z) #
# P_0 = (0,0,0) #

Соответствующие длины сторон # P_1-p_0 # а также # P_2-p_0 #
являются

#norm (p_1-p_0) = SQRT (а ^ 2 + B ^ 2 + с ^ 2) #
#norm (p_2-p_0) = SQRT (х ^ 2 + у ^ 2 + z ^ 2) #

и их скалярное произведение

# (p_1-p_0). (p_2-p_0) = ax + by + cz #

но # (p_1-p_0). (p_2-p_0) = норма (p_1-p_0) норма (p_2-p_0) cos (hat (p_1p_0p_2)) #

так

#cos (hat (p_1p_0p_2)) = (ax + by + cz) / (sqrt (a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2) sqrt (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2)) = 30 / (5х6) = 1 #

Тогда стороны # P_1-p_0 # а также # P_2-p_0 # выровнены так
# (p_1-p_0) = лямбда (p_2-p_0) # и конечно

#lambda = 5/6 #

Ответ:

По-другому

Объяснение:

Для тех, кто знает меньше

# А ^ 2 + B ^ 2 + с ^ 2 = 25 .... (1) #
# Х ^ 2 + у ^ 2 + г ^ 2 = 36 ....... (2) #
# Ах + Ьу + CZ = 30 ... .. (3) #

Разделив уравнение (1) на #5^2# у нас есть
# (А / 5) ^ 2 + (б / 5) ^ 2 + (с / 5) ^ 2 = 1 .... (4) #

Разделив уравнение (2) на #6^2#у нас есть
# (Х / 6) ^ 2 + (г / 6) ^ 2 + (г / 6) ^ 2 = 1 ... (5) #

Разделив уравнение (3) на 30, получим
# (А / 5 * х / 6) + (б / у 5 * / 6) + (с / 5 * г / 6) = 1 ... .. (6) #

Сложив уравнения (4); (5) и вычтя дважды из уравнения (6) из их суммы, получим

# (А / 5-х / 6) ^ 2 + (б / 5-й / 6) ^ 2 + (с / 5-г / 6) ^ 2 = 0 #

a, b, c, x, y, z действительны, а сумма трех квадратов выражений нульпоэтому каждый из них должен быть нулевым.

следовательно # a / 5-x / 6 = 0 => a / x = 5/6 #
Так же, # b / y = 5/6 и c / z = 5/6 #
#: a / x = b / y = c / z = 5/6 #
Доказанные.