Skip to main content

Как вы докажете, что #sqrt (4 + 2sqrt (3)) = sqrt (3) + 1 #?

Один из способов показать, что левая сторона равна правой стороне, состоит в том, чтобы показать, что их частное равно #1#, Начиная с частного, мы имеем

#sqrt (4 + 2sqrt (3)) / (SQRT (3) + 1) #

Чтобы помочь нам оценить это, давайте сначала рационализировать знаменатель

#sqrt (4 + 2sqrt (3)) / (sqrt (3) +1) = (sqrt (4 + 2sqrt (3)) xx (sqrt (3) -1)) / ((sqrt (3) +1) ая (SQRT (3) -1)) #

# = (SQRT (4 + 2sqrt (3)) хх (SQRT (3) -1)) / ((SQRT (3)) ^ 2-1 ^ 2) #

# = (SQRT (4 + 2sqrt (3)) хх (SQRT (3) -1)) / (3-1) #

# = (SQRT (4 + 2sqrt (3)) хх (SQRT (3) -1)) / 2 #

Как частное должно быть равно #1# если данные выражения равны, теперь нам нужно показать, что числитель равен #2#.

#sqrt (4 + 2sqrt (3)) xx (sqrt (3) -1) = sqrt (4 + 2sqrt (3)) xxsqrt ((sqrt (3) -1) ^ 2) #

(Обратите внимание, что вышеуказанный шаг оправдан, потому что #sqrt (3) -1> 0 #, Если #x> = 0 #, затем #x = sqrt (x ^ 2) #, Если #x <0 #, затем # Х = -sqrt (х ^ 2) #)

# = SQRT ((4 + 2sqrt (3)) (SQRT (3) -1) ^ 2) #

# = SQRT ((4 + 2sqrt (3)) (3-2sqrt (3) + 1)) #

# = SQRT ((4 + 2sqrt (3)) (4-2sqrt (3)) #

# = SQRT (4 ^ 2- (2sqrt (3)) ^ 2) #

# = SQRT (16-12) #

(Как и при рационализации знаменателя, мы используем идентичность # (a + b) (a-b) = a ^ 2-b ^ 2 #)

# = SQRT (4) #

#=2#

Теперь, когда мы показали, что числитель обладает желаемым свойством, мы можем решить остальную часть проблемы достаточно просто.

#sqrt (4 + 2sqrt (3)) / (sqrt (3) +1) = (sqrt (4 + 2sqrt (3)) xx (sqrt (3) -1)) / ((sqrt (3) +1) ая (SQRT (3) -1)) = 2/2 = 1 #

# => sqrt (4 + 2sqrt (3)) / (sqrt (3) +1) xx (sqrt (3) +1) = 1xx (sqrt (3) +1) #

# :. sqrt (4 + 2sqrt (3)) = sqrt (3) + 1 #

Ответ:

Увидеть ниже.

Объяснение:

Это выражение имеет структуру

#sqrt (а + bsqrt (3)) = csqrt (3) + D # так возводя в квадрат обе стороны

# a + bsqrt (3) = 3 c ^ 2 + 2 sqrt [3] c d + d ^ 2 # условия сопряжения

# {(a - 3 c ^ 2 - d ^ 2 = 0), (b - 2 c d = 0):} #

Решение для #CD# у нас есть

#c = pmsqrt [pm sqrt [a ^ 2 - 3 b ^ 2]] / sqrt [6] #
# d = pm (sqrt [3/2] b) / sqrt [a - sqrt [a ^ 2 pm 3 b ^ 2]] #

Если # a = 4, b = 2 # у нас есть возможности

# ((c = -1 / sqrt [3], d = -sqrt [3]), (c = 1 / sqrt [3], d = sqrt [3]), (c = -1, d = -1 ), (c = 1, d = 1)) #

Ответ:

Смотри описание...

Объяснение:

Обратите внимание, что:

# (sqrt (3) +1) ^ 2 = (sqrt (3)) ^ 2 + 2 (sqrt (3)) + 1 #

# color (white) ((sqrt (3) +1) ^ 2) = 3 + 2 sqrt (3) + 1 #

# color (white) ((sqrt (3) +1) ^ 2) = 4 + 2sqrt (3) #

поскольку #sqrt (3) +1> 0 #мы можем взять положительный квадратный корень с обоих концов, чтобы получить:

#sqrt (3) +1 = sqrt (4 + 2sqrt (3)) #