Skip to main content

Найти все действительные матрицы # A #, такие, что # A² = I (2) # (# A # - матрица второго порядка)?

Ответ:

Решения:

#((1,0),(0,1))#, #((-1,0),(0,-1))#, # ((1,0), (с, -1)) #, # ((- - 1,0), (c, 1)), ((a, b), ((1-a ^ 2) / b, -a)) #

Объяснение:

предполагать #A = ((a, b), (c, d)) #

Затем:

# A ^ 2 = ((a, b), (c, d)) ((a, b), (c, d)) = ((a ^ 2 + bc, b (a + d)), (c (a + d), d ^ 2 + bc)) #

Так что, если мы хотим # А ^ 2 = ((1,0), (0,1)) # тогда мы получим следующие уравнения:

# {(a ^ 2 + bc = 1), (b (a + d) = 0), (c (a + d) = 0), (d ^ 2 + bc = 1):} #

Из второго уравнения имеем # Б = 0 # и / или # a + d = 0 #

#белый цвет)()#
случай #BB (Ь = 0) #

#a = + - 1 #, #d = + - 1 #

Если дополнительно # А = -d # затем # C # может иметь любое значение. Иначе # C = 0 #.

Итак, дело # Б = 0 # результаты в решениях:

#((1,0),(0,1))#, #((-1,0),(0,-1))#, # ((1,0), (с, -1)) #, # ((- 1,0), (с, 1)) #

#белый цвет)()#
случай #BB (а + d = 0) #

#bc = 1 - a ^ 2 #

Это приводит к решениям:

# ((a, b), ((1-a ^ 2) / b, -a)) #

#белый цвет)()#
Все эти решения работают.

Ответ:

Увидеть ниже

Объяснение:

Дано

#A = ((a_ {11}, a_ {12}), (a_ {21}, a_ {22})) #

нам нужно все # A # такой, что

# A cdot A = I (2) #

где

#I (2) = ((1,0), (0,1)) #

Решение системы результирующих уравнений

# {(a_ (11) ^ 2 + a_ (12) a_ (21) = 1), (a_ (11) a_ (12) + a_ (12) a_ (22) = 0), (a_ (11) a_ (21) + a_ (21) a_ (22) = 0), (a_ (12) a_ (21) + a_ (22) ^ 2 = 1):} #

у нас есть

# A_1 = ((lambda_1, lambda_2), ((1-lambda_1 ^ 2) / lambda_2, -lambda_1)) #
# А_2 = ((- 1,0), (lambda_1,1)) #
# A_3 = -A_2 #
# A_4 = I (2) #
# A_5 = -I (2) #

За # lambda_1 в RR # а также # (lambda_2 ne 0) в RR #