Skip to main content

Вопрос a26cd

Ответ:

#105#

Объяснение:

Есть несколько способов сделать это. Мы рассмотрим некоторые из них, используя все более мощные комбинаторные (счетные) инструменты. Обратите внимание, что, поскольку осталась одна пара, эта проблема эквивалентна поиску количества способов деления #8# отдельные объекты в #4# пар.

Метод 1: Прямой подсчет

Маркировка объектов #1-8#, Сначала мы выберем пару, включая #1#, Есть #7# способы сделать это: #(1,2), (1,3), ..., (1,8)#.
Далее мы выберем пару, включающую наименьшее из оставшихся шести объектов. Есть #5# способы сделать это. Например, если #(1,2)# был использован, то они будут #(3,4), (3,5), ..., (3,8)#
Далее мы выберем пару, включая наименьшее из оставшихся #4# объекты. Есть #3# способы сделать это. Финальная пара будет оставшейся #2# объекты.

Собрав все это вместе, это дает нам #7*5*3 = 105# пути.

Метод 2: биномиальные коэффициенты

Биномиальный коэффициент # ((n), (k)) = (n!) / (k! (n-k)!) # можно рассматривать как количество способов выбора # К # объекты из набора # П # объекты. С этим:

Есть #((8),(2))# способы выбора #2# объекты для первой пары. Тогда есть #((6),(2))# способы выбора #2# из оставшихся #6# для второй пары. Далее есть #((4),(2))# способы выбора #2# для третьей пары, а затем #((2),(2))# способы выбрать последнюю пару.

Обратите внимание, что это значит больше, чем мы хотели. Используя вышесказанное, мы рассчитываем #(1,2),(3,4),(5,6),(7,8)# а также #(3,4),(1,2),(5,6),(7,8)# как отдельные случаи, потому что он рассматривает первую группу как отличную от второй группы и так далее. Чтобы это исправить, мы можем разделить количество способов организации групп. Как есть #n #! способы организовать набор # П # объекты, мы разделим на #4!# для учета различных договоренностей #4# пар. Таким образом, конечный результат становится

#((8),(2)) * ((6),(2)) * ((4),(2)) * ((2),(2)) * 1/(4!)#

# = (8!) / (2! Отмена (6!)) * Отмена (6!) / (2! Отмена (4!)) * Отмена (4!) / (2! Отмена (2!)) * Отмена (2!) / (2! 0!) * 1 / (4!) #

#=(8!)/(2!2!2!2!4!)#

#=105#

Метод 3: полиномиальные коэффициенты

Коэффициент многочлена # ((,, n ,,), (k_1, k_2 ,, ..., k_m)) = (n!) / (k_1! k_2! ... k_m!) # можно рассматривать как количество способов разделить набор # П # объекты в # М # отдельные группы размеров # K_1 # через # K_m #.

Применительно к данной проблеме мы делим #8# объекты в #4# группы, каждая по размеру #2#, Таким образом, мы используем коэффициент многочлена #((,,8,,),(2,2,2,2,))#, Однако, поскольку это рассматривает группы как отличающиеся, мы переоцениваем и должны делиться на количество способов упорядочить пары, чтобы учесть повторный выбор. Как есть #4!# способы устроить #4# пары, таким образом, дает нам окончательный результат:

#((,,8,,),(2,2,2,2,))*1/(4!) = (8!)/(2!2!2!2!)*1/(4!) = 105#