Skip to main content

Фермер хочет обнести забором прямоугольное поле площадью 450 000 м2. Затем она хочет разделить это поле на три поля поменьше, разместив дополнительную длину забора параллельно одной из сторон. Как она может сделать это так, чтобы она минимизировала стоимость?

Ответ:

Минимальный периметр дается, когда #x ~~ 474.3 # а также #y ~~ 948.7 #, что дает соответствующий периметр # Р ~~ 3794,7 #

Объяснение:

Без ограничения общности предположим, что поле разделено, как показано:

Площадь прилагается как #450,000# так что:

# xy = 450000 => y = 450000 / x #

Общий периметр всего ограждения определяется как:
# P = 4 xx ("по вертикали") + 2 xx ("по горизонтали") #
#:. P = 4x + 2y #

Как указано в Wlog мы могли бы обменяться #Икс# а также # У #, Теперь мы можем исключить одну переменную (в этом случае # У #) так как у нас есть два уравнения, то получим:

# P = 4x + 2 * 450000 / x #
# = 4x + 900000 / x #

Дифференцирующий по отношению #Икс# мы получаем:

# (dP) / dx = 4 - 900000 / x ^ 2 #

В критической точке мы имеем # (Dp) / дх = 0 #:

# => 4 - 900000 / x ^ 2 = 0 #
#:. 900000 / х ^ 2 = 4 #
#:. х ^ 2 = 900000/4 #
#:. х ^ 2 = 225000 #
#:. x = 150sqrt (10) ~~ 474.3 => y ~~ 948.7 #

Это дает нам # Р ~~ 3794,7 #

Мы можем визуально убедиться, что это соответствует минимуму, посмотрев на график:
график {4x + 900000 / x [-10, 1000, -1000, 7830]}